"Сумма n-первых членов геометрической прогрессии"  

Ход урока

I. Проверка Д/З

а) К доске вызывается ученик доказывать теорему “Сумма n-первых членов геометрической прогрессии”, пока идет проверка домашней работы, учащийся готовится к ответу.

в) На 3 слайде показаны выполненные задания из домашней работы, необходимо найти ошибку 

№ 420 (2)           Sn = b₁*(1-qⁿ)/(1-q) = -2*(1- Ѕ )/(1- Ѕ ) = -3 7/8

№ 421 (2)             b1 = 2, b2 = 6, q = 6:2 = 3, S = 2*(37-1)/(2-1) = 2186

№ 425 (2)            Sn = (bn*q-b1)/(q-1) = (243*3-1)/3-1 = 463

II. Устная работа4 слайд.

Сравните числовые последовательности:

1. 1; 2; 4;-8;…;
2. 1; -2; 4; -8;…;
3. 1; -2; -4; -8;…;
4. 1; 2; 4; 8;…?

Найдите закономерность.Какие из приведенных последовательностей являются геометрической прогрессией? Что означает слово “прогрессия”?

5 слайд. Найдите лишнее:

1. 2,3; 3,5; 4,7; 5,9;…;
2. -Ѕ; 1; -2; 4;…;
3. 3; -9; 27; 81;…;
4. 3; 5; 7; 9;…?            Есть ли здесь арифметическая прогрессия?

6 слайд. Является ли число 1/4 членом геометрической прогрессии 8; 4; 2;…? Если является, то укажите номер.

Определите, истинно или ложно утверждение: “Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 3, а знаменатель равен 2, равна 93”.

III. Из истории математики (8 слайд)

• 2000 лет до н. э. — задачи из древнеегипетского папируса Ахмеса

• V в. до н. э. — в документах Древней Греции встречаются сведения, связанные с прогрессиями; индийские и китайские ученые решали задачи на прогрессию

• В XVIII в. в английских и французских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии , .

IV. Решение задач

1) Задача из старинных рукописей (9 слайд)

Некто продавал коня и просил за него 1000 руб. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. “Хорошо, — ответил продавец, — возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь полушку, за второй гвоздь — две полушки, за третий гвоздь — четыре и т.д., за каждый гвоздь в два раза больше, чем за предыдущий. Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 руб., согласился.

Проторговался ли купец?

Ответ: купец заплатил 41 943руб.

2) Задача (10 слайд)

В нашем селе Филинском необходимо распространить информацию. Распространение происходит по следующей схеме. Каждый человек в течение часа должен проинформировать 4 человек. Первоначально информацией владеют 2 человека. Всего на территории Филинского с/совета проживает 2 730 чел. Через какое время каждый житель Филинского будет информирован.

Образует ли данная последовательность геометрическую прогрессию?

Ответ: 6 часов.

Одна пара кроликов в год приплод в 50 крольчат. Если бы они все оставались в живых, то в грубом приближении можно было бы считать, что число кроликов увеличивается в 25 раз каждый год. Но тогда через 2 года их число увеличилось бы в 625 раз, через 3 года в 15625 раз и т.д. Последовательность чисел 1, 25, 625, 15625... возрастает очень быстро – уже через 5 лет было бы 25⁵, т.е. более девяти миллионов пар ,а еще через 5 лет кролики исчислялись бы биллионами.

Еще быстрее увеличилось бы количество растений мака, если бы каждое маковое зерно давало новое растение. В одной головке содержится примерно 3000 маковых зерен, и уже через 5 лет число потомков одного растения равнялось бы 3000⁵ = 243 000 000 000 000 000. Это примерно по 2000 растений на каждый метр суши, включая песчаные пустыни Сахары и Каракумов и ледяные просторы Ирландии и Антарктиды. А комнатные мухи размножались бы вообще с головокружительной быстротой. Если считать, что муха откладывает по 200 яичек и в течение лета появляется 7 поколений, то за лето появилось бы более чем 800 000 000 000 000 мух. Эти мухи весили бы несколько десятков миллионов тонн, а выстроенные в одну линию, заняли бы отрезок длиной в 1500 млн. км., что в 10 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство одной пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара.

Разумеется, в действительности мы не наблюдаем такого чудовищного роста – в любом сообществе животных и растений через некоторое время устанавливается динамическое равновесие. Одни питаются другими. Погодные условия также влияют на продолжительность жизни и т.д.

V. Самостоятельная работа (11 слайд)

Каждое задание имеет определенный “вес” в баллах. Нужно постараться набрать наибольшее количество баллов.

Дополнительное задание — на дополнительную оценку.

Самопроверка выполняется в конце урока, правильные ответы показаны на очередном слайде.

1 вариант

1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии -2; -4; -8;… (3 балла)

2. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой b₁=81, q=1/3. (3 балла)

3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена b_n=5^n-1. Найти S₅. (4 балла)

4. Дополнительная задача. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько дрожжевых клеток стало после пятикратного деления, если первоначально их было 1 млн?

Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”.

2 вариант

1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b₁=32, q=-2. (3 балла)

2. Укажите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 2;1; Ѕ ;… (3 балла)

3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена b_n=3ⁿ. Вычислить S₅. (4 балла)

4. Дополнительная задача. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий стало после шестикратного деления, если первоначально их было 1000?

Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”.

VI. Подведение итогов

Проверка самостоятельной работы (12 слайд), выставление оценок

Определение настроения класса(13 слайд)

VII. Домашняя работа (14 слайд)

1. № 424(2,4)
2. Дополнительное задание. Составьте задачу на нахождение суммы n-членов геометрической прогрессии

ТЕСТ

 1. Числовая последовательность b₁, b₂, b₃, …… , b_n, ……. называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство

2. Знаменателем прогрессии называется число q =/= 0. Его находят по формуле q =

3. Если первый член геометрической прогрессии 2, а знаменатель – 2, то первые пять членов запишутся так

4. Найти неизвестные члены геометрической прогрессии …, 6, …., 24, 48 …, 192, …

5. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

6. В геометрической прогрессии b₁ = 25, q = 1/5.

Вычислить 5-ый член прогрессии.

7. Если все члены прогрессии положительны, то каждый ее член, начиная со второго, равен ________________ двух соседних членов. Это записывается так

 8. Сумма n первых членов прогрессии со знаменателем q =/= 1 равна ...